Home Matematika Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat Implisit

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dan Kuadrat Implisit

11
0

– Sistem persamaan linear dan kuadrat implisit yaitu sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan bab kuadratnya berbentuk implisit. Bagian kuadrat dari SPLK dikatakan berbentuk implisit kalau bab tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk fungsinya. Misal bab kuadrat dengan peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit umumnya dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0 sehingga pada sistem persamaan linear dan kuadrat implisit, bab kuadratnya biasanya bernilai sama dengan nol. Pada kesempatan ini, materi berguru sekolah akan membahas beberapa bentuk dan cara memilih himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat implisit.

Bentuk Umum SPLK Implisit

Persamaan yang mengandung dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit kalau persamaan tersebut tidak sanggup dinyatakan dalam bentuk x = f(y) atau y = f(x). Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berbentuk implisit sanggup dilihat dari bentuk bab kuadratnya.

Pada SPLK implisit, bab kuadrat biasanya mengandung dua peubah yang mempunyai pangkat kuadrat. Berikut beberapa pola persamaan dua variabel yang berbentuk implisit:
1). x2 + y2 + 12 = 0
2). x2 + y2 + 4x – 24 = 0
3). 2x2 – y2 + 4xy + 3x – 2y – 6 = 0

Pada artikel sebelumnya telah dibahas bahwa SPL sanggup dibedakan menjadi SPLK dengan bab kuadrat eksplisit dan SPLK dengan bab kuadrat implisit. Pada gambar di bawah ini ditunjukkan perbedaan antara bentuk eksplisit dan bentuk implisit.

 Sistem persamaan linear dan kuadrat implisit yaitu sistem persamaan yang terdiri dari pe PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT IMPLISIT

Secara umum, sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bab kuadrat berbentuk implisit dalam peubah x dan y sanggup ditulis sebagai berikut:

Bagian linear    : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. Berdasarkan bentuk bab kuadratnya, SPLK implisit sanggup dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:
1. SPLK implisit, dengan bab kuadrat sanggup difaktorkan
2. SPLK implisit, dengan bab kuadrat tidak sanggup difaktorkan.

Artikel Terkait :
Perkalian Silang (Cross Product) Dua Vektor

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Dapat Difaktorkan

Secara umum, SPLK implisit sanggup diselesaikan dengan cara mensubstitusi bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Setelah itu ditentukan akar-akar persamaan kuadratnya dan ditentukan nilai variabel lainnya.

Akan tetapi, alasannya bab kuadratnya sanggup difaktorkan, kita sanggup menyelesaikannya dengan cara memfaktorkan bab kuadratnya terlebih dahulu sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Persamaan linear tersebut digabung dengan persamaan linear yang diketahui membentuk dua SPLDV.

Setelah diperoleh dua SPLDV, selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV menurut prinsiip penyelesaian SPLD baik dengan metode eliminasi atau metode substitusi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola berikut.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLK berikut ini:
x + y = 4
x2 – 2xy + y2 – 4 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, faktorkan bab kuadratnya:
⇒ x2 – 2xy + y2 – 4 = 0
⇒ (x – y)2 – 4 = 0
⇒ (x – y – 2)(x – y + 2) = 0

Dari proses di atas, kita peroleh dua persamaan linear sebagai berikut:
1). x – y – 2 = 0
2). x – y + 2 = 0

Selanjutnya, gabungkan kedua masing-masing persamaan di atas dengan persamaan linear x + y = 4 sehingga diperoleh dua sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

SPLDV pertama:
x + y = 4 
x – y – 2 = 0

SPLDV kedua:
x + y = 4 
x – y + 2 = 0

Selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV dengan memakai metode eliminasi atau metode substitusi. Kali ini, kita akan coba metode substitusi.

Penyelesaian SPLDV pertama:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 – y

Substitusi ke persamaan x – y – 2 = 0
⇒ x – y – 2 = 0
⇒ (4 – y) – y – 2 = 0
⇒ 4 – 2y – 2 = 0
⇒ -2y = -2
⇒ y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1
⇒ x = 3

HP = {(3, 1)}.

Penyelesaian SPLDV kedua:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 – y

Substitusi ke persamaan x – y + 2 = 0
⇒ x – y + 2 = 0
⇒ (4 – y) – y + 2 = 0
⇒ 4 – 2y + 2 = 0
⇒ -2y = -6
⇒ y = 3

Artikel Terkait :
Cara Merancang Model Matematika Berbentuk Spldv

Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 – 3
⇒ x = 1

HP = {(1, 3)}.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk SPLK tersebut yaitu {(3, 1), (1, 3)}.

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Tidak Dapat Difaktorkan

Untuk SPLK implisi yang bab kuadratnya tidak sanggup difaktorkan, maka kita sanggup menyelesaikannya dengan cara mensubstitusikan bab linear ke bab kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat satu variabel.

Setelah akar dari persamaan linear yang terbentuk diperoleh, selanjutnya kita tentukan nilai variabel lainnya dengan cara mensubstitusikan nilai variabel yang sudah diketahui (nilai itu diperoleh dari akar persamaan kuadrat).

Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut:
x + y = 0
x2 + y2 – 8 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, nyatakan bab linear dalam bentuk x atau y sebagia berikut:
⇒ x + y = 0
⇒ y = -x

Langkah kedua, substitusikan y ke dalam bab kuadrat:
⇒ x2 + y2 – 8 = 0
⇒ x2 + (-x)2 – 8 = 0
⇒ x2 + x2 – 8 = 0
⇒ 2x2 – 8 = 0
⇒ x2 – 4 = 0

Selanjutnya, tentukan akar-akarnya:
⇒ x2 – 4 = 0
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2 atau x = -2

Selanjutnya, substitusi nilai x ke persamaan x + y = 0.

Untuk x = 2
⇒ x + y 0
⇒ 2 + y = 0
⇒ y = -2
HP = {(2, -2)}

Untuk x = -2
⇒ x + y = 0
⇒ -2 + y = 0
⇒ y = 2
HP = {(-2, 2)}.

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut yaitu {(-2, 2), (2, -2)}.